Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X, т.е. получить последовательность ее возможных значений (i=1, 2, ..., n), зная функцию распределения F(x).

Теорема. Если - случайное число, то возможное значение разыгрываемой непрерывной случайной величины X с заданной функцией распределения F (х), соответствующее , является корнем уравнения .

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число , приравнять его функции распределения и решить относительно полученное уравнение .

Замечание 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример 1. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение: Напишем функцию распределения величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b): .

По условию, а=2, b=10, следовательно, .

Используя правило 1, напишем уравнение для отыскания возможных значений , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:

Отсюда .

Выберем 3 случайных числа, например, , , . Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно ; в итоге получим соответствующие возможные значения X: ; ; .

Пример 2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (параметр известен) (х >0). Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение: Используя правило, напишем уравнение .

Решим это уравнение относительно : , или .

Случайное число заключено в интервале (0, 1); следовательно, число - также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Другими словами, величины R и 1-R распределены одинаково. Поэтому для отыскания можно воспользоваться более простой формулой .

Замечание 2. Известно, что .

В частности, .

Отсюда следует, что если известна плотность вероятности , то для разыгрывания X можно вместо уравнений решить относительно уравнение .

Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности , надо выбрать случайное число и решить относительно уравнение или уравнение , где а - наименьшее конечное возможное значение X.

Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины X в интервале ; вне этого интервала . Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение: Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение .

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно , окончательно получим .

18.7 Приближённое разыгрывание нормальной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(R)=1/2, D(R)=1/12.

Составим сумму n независимых, распределенных равномерно в интервале (0, 1) случайных величин : .

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма содержит n слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу М(R)=1/2 равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы

Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу D(R)=1/12 равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы

Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение: .

В силу центральной предельной теоремы при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=0 и . При конечном n распределение приближенно нормальное. В частности, при n=12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение .

Оценки удовлетворительные: близко к нулю, мало отличается от единицы.

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высшая школа, 2001.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003.

5. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994.

6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.

ВВЕДЕНИЕ

Системой принято называть совокупность элементов, между которыми имеются связи любой природы, и она обладает функцией (назначением), которой нет у составляющих ее элементов. Информационные системы, как правило, представляют собой сложные территориально распределенные системы с большим количеством составляющих элементов, обладающие разветвленной сетевой структурой.

Разработка математических моделей, позволяющих оценить показатели функционирования информационных систем, является сложной и трудоемкой задачей. Для определения характеристик таких систем можно применить метод имитационного моделирования с последующей обработкой результатов эксперимента.

Имитационное моделирование является одной из центральных тем при изучении дисциплин "Моделирование систем" и "Математическое моделирование". Предметом имитационного модели­рования является изучение сложных процессов и систем, подвер­женных, как правило, воздействию случайных факторов, путем проведения экспериментов с их имитационными моделями.

Суть метода проста - имитируется “жизнь” системы при многократном повторении испытаний. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние воздействия на систему. Для каждой ситуации по уравнениям модели просчитываются системные показатели. Существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос - а можно ли и, с каким доверием, использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для изучения данной системы.

Можно говорить об универсальности имитационного моделирования, поскольку оно применяется для решения теоретических и практических задач анализа больших систем, включая задачи оценки вариантов структуры системы, оценки эффективности различных алгоритмов управления системой, оценки влияния измене­ния различных параметров системы на её поведение. Имитационное моделирование может быть положено также в основу синтеза больших систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определённых ограничениях, и которая при этом была бы оп­тимальной согласно выбранным критериям.

Имитационное моделирование является одним из наиболее эффективных средств исследования и проектирования сложных систем, а часто единственным практически реализуемым методом исследования процесса их функционирования.

Целью курсовой работы является изучение студентами методов имитационного моделирования и методов обработки статистических данных на ЭВМ с использованием прикладных программных средств. Приведем возможные темы курсовых работ, позволяющих исследовать сложные системы на основе имитационных моделей.

· Имитационное моделирование в задачах одномерного или плоского раскроя. Сравнение плана раскроя с оптимальным планом, полученным методами линейного целочисленного программирования.

· Транспортные модели и их варианты. Сравнение плана перевозок, полученного методом имитационного моделирования, с оптимальным планом, полученным методом потенциалов.

· Применение метода имитационного моделирования к решению оптимизационных задач на графах.

· Определение объемов производства как задача многокритериальной оптимизации. Использование метода имитационного моделирования для нахождения множества достижимости и множества Парето.

· Метод имитационного моделирования в задачах календарного планирования. Получение рекомендаций по составлению рационального расписания.

· Исследование характеристик информационных систем и каналов связи как систем массового обслуживания методом имитационного моделирования.

· Построение имитационных моделей при организации запросов в базах данных.

· Применение метода имитационного моделирования для решения задачи управления запасами с постоянным, переменным и случайным спросом.

· Исследование работы цеха рубительных машин методом имитационного моделирования.

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Техническая система S состоит из трех элементов, схема соединения которых приведена на рис.1. Времена безотказной работы X 1 , X 2 , X 3 элементов системы являются непрерывными случайными величинами с известными законами распределения вероятностей. Внешняя среда E оказывает воздействие на работу систему в виде случайной величины V с известным дискретным распределением вероятностей.

Требуется оценить надежность системы S методом имитационного моделирования на ЭВМ с последующей обработкой результатов эксперимента. Ниже приводится последовательность выполнения работы.

1. Разработка алгоритмов разыгрывания случайных величин X 1 , X 2 , X 3 и V с использованием генераторов случайных чисел, содержащихся в математических пакетах, например, в Microsoft Excel или в StatGraphics.

2. Определение времени безотказной работы системы Y в зависимости от времен безотказной работы X 1 , X 2 , X 3 элементов на основе структурной схемы расчета надежности.

3. Определение времени безотказной работы системы с учетом влияния внешней среды в соответствии с формулой Z=Y/(1+0,1V).

4. Построение моделирующего алгоритма, имитирующего работу системы S и учитывающего возможность отказа элементов и случайные воздействия внешней среды E. Реализация полученного алгоритма на ЭВМ и создание файла со значениями случайных величин X 1 , X 2 , X 3 , V, Y и Z. Число опытов для машинного эксперимента принять равным 100.

5. Статистическая обработка полученных результатов. С этой целью необходимо

Данные для случайной величины Z разбить на 10 групп и сформировать статистический ряд, содержащий границы и середины частичных интервалов, соответствующие частоты, относительные частоты, накопленные частоты и накопленные относительные частоты;

Для величины Z построить полигон и кумуляту частот, построить гистограмму по плотностям относительных частот;

Для величин X 1 , X 2 , X 3 , V установить их соответствие заданным законам распределения, используя критерий c 2 ;

Для случайной величины Z рассмотреть три непрерывных распределения (равномерное, нормальное, гамма), изобразить на гистограмме для Z плотности этих распределений;

С помощью критерия c 2 выполнить проверку справедливости гипотезы о соответствии статистических данных выбранным распределениям, уровень значимости при подборе подходящего распределения принять равным 0.05.

6. Записать функцию плотности распределения времени безотказной работы Z системы, определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z. Определить основные характеристики надежности системы: среднюю наработку до отказа T 1 и вероятность безотказной работы P(t) в течение времени t. Найти вероятность, что система не откажет за время T 1 .

Варианты заданий выдаются из табл.1 индивидуально каждому студенту. Обозначения случайных величин содержатся по тексту в п.2 и 3. Структурные схемы расчета надежности в соответствии с их номерами приведены на рис.1.

Таблица 1

Варианты заданий

Вариант	X 1	X 2	X 3	V	Номер схемы
	LN(1,5;2)	LN(1,5;2)	E(2;0,1)	B(5;0,7)
	U(18;30)	U(18;30)	N(30;5)	G(0,6)
	W(1,5;20)	W(1,5;20)	U(10;20)	П(2)
	Exp(0,1)	Exp(0,1)	W(2;13)	B(4;0,6)
	N(18;2)	N(18;2)	Exp(0,05)	G(0,7)
	E(3;0,2)	E(3;0,2)	LN(2;0,5)	П(0,8)
	W(2,1;24)	W(2,1;24)	E(3;0,25)	B(3;0,5)
	Exp(0,03)	Exp(0,03)	N(30;0,4)	G(0,8)
	U(12;14)	U(12;14)	W(1,8;22)	П(3,1)
	N(13;3)	N(13;3)	W(2;18)	B(4;0,4)
	LN(2;1)	LN(2;1)	Exp(0,04)	G(0,9)
	E(2;0,1)	E(2;0,1)	LN(1;2)	П (4,8)
	W(1,4;20)	W(1,4;20)	U(30;50)	B(3;0,2)
	Exp(0,08)	Exp(0,08)	LN(2;1,5)	G(0,3)
	U(25;30)	U(25;30)	N(30;1,7)	П(2,8)
	N(17;4)	N(17;4)	E(2;0,04)	B(2;0,3)
	LN(3;0,4)	LN(3;0,4)	Exp(0,02)	G(0,4)
	E(2;0,15)	E(2;0,15)	W(2,3;24)	П(1,6)
	W(2,3;25)	W(2,3;25)	U(34;40)	B(4;0,9)
	Exp(0,02)	Exp(0,02)	LN(3,2;1)	G(0,7)
	U(15;22)	U(15;22)	N(19;2,2)	П(0,5)
	N(15;1)	N(15;1)	E(3;0,08)	B(4;0,6)
	LN(2;0,3)	LN(2;0,3)	Exp(0,02)	G(0,5)
	E(3;0,5)	E(3;0,5)	W(3;2)	П(3,6)
	W(1,7;19)	W(1,7;19)	U(15;20)	B(5;0,7)
	Exp(0,06)	Exp(0,06)	LN(2;1,6)	G(0,2)
	U(15;17)	U(15;17)	N(12;4)	П(4,5)
	N(29;2)	N(29;2)	E(2;0,07)	B(2;0,7)
	LN(1,5;1)	LN(1,5;1)	Exp(0,08)	G(0,7)
	E(2;0,09)	E(2;0,09)	W(2,4;25)	П(2,9)

На рис.1 имеется три вида соединения элементов: последовательное, параллельное (постоянно включенный резерв) и резервирование замещением.

Время до отказа системы, состоящей из последовательно соединенных элементов, равно наименьшему из времен до отказа элементов. Время до отказа системы с постоянно включенным резервом равно наибольшему из времен до отказа элементов. Время до отказа системы с резервом замещением, равно сумме времен до отказа элементов.

Схема 1. Схема 2.

Схема 3. Схема 4.

Схема 5. Схема 6.
Схема 7. Схема 8.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) n возможных значений x i случайной величины Х, находят их среднее арифметическое

И принимают в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а. Таким образом, для применения метода Монте-Карло необходимо уметь разыгрывать случайную величину.

Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х, т.е. вычислить последовательность ее возможных значений х i (i=1,2, …), зная закон распределения Х. Введем обозначения: R- непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,1); r i (j=1,2,…) – случайные числа (возможные значения R).

Правило: Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения

Х х 1 х 2 … х n

P p 1 p 2 … p n

1. Разбить интервал (0,1) оси or на n частичных интервалов:

Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1 ; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1 ; 1).

2.Выбрать случайное число r j . Если r j попало в частичный интервал Δ i , то разыгрываемая величина приняла возможное значение х i . .

Разыгрывание полной группы событий

Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины.

Правило: Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А 1, А 2, …, А n полной группы, вероятности которых р 1, р 2 , …, р n известны, достаточно разыграть дискретную величину Х со следующим законом распределения:

P p 1 p 2 … p n

Если в испытании величина Х приняла возможное значение x i =i, то наступило событие А i .

Разыгрывание непрерывной случайной величины

Известна функция распределения F непрерывной случайной величины Х. Требуется разыграть Х, т.е. вычислить последовательность возможных значений х i (i=1,2, …).

А. Метод обратных функций. Правило 1. х i непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F, надо выбрать случайное число r i , приравнять его функции распределения и решить относительно х i полученное уравнение F(х i) = r i .

Если известна плотность вероятности f(x), то используют правило 2.

Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение х i непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности f, надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i уравнение

или уравнение

где а – наименьшее конечное возможное значение Х.

Б. Метод суперпозиции. Правило 3. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины Х, функция распределения которой

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

где F k (x) – функции распределения (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, надо выбрать два независимых случайных числа r 1 и r 2 и по случайному числу r 1 разыгрывать возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z (по правилу 1):

p C 1 C 2 … C n

Если окажется, что Z=k, то решают относительно х уравнение F k (x) = r 2 .

Замечание 1. Если задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х в виде

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

где f k – плотности вероятностей, коэффициенты С k положительны, их сумма равна единице и если окажется, что Z=k, то решают (по правилу 2) относительно х i относительно или уравнение

Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение х i нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:

Замечание . Если требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв возможное значение х i по приведенному выше правилу, находят искомое возможное значение по формуле: z i =σx i +a.

Пусть, например, перед нами поставлена задача получить ряд значений дискретной случайной величины X с распределением

где – возможные значения случайной величины Х , расположенные в убывающем порядке; – вероятности этих значений,

Для решения этой задачи представим себе (см. пример в начале главы), что единичный квадрат, площадь которого S o =l, разделен на k площадок, размеры которых S 1 , S 2 ,… , S k заданы в долях единицы и равны соответственно вероятностям p 1 , p 2 , ..., p k . Выберем в единичном квадрате N случайных, равномерно распределенных точек, каждая из которых задана координатами (х, у), представляющими собой значения случайных величин X и Y, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1 .

Если i -я точка (i = 1, 2, ..., N) попала в какую-то j -ю площадку, то будем считать, что мы получили значение X, равное , т. е. х i = ξ j . Если i+1 -я точка попала в какую-то ζ - ю площадку, то будем считать, что мы получили значение X, равное ξ j , т. е. х i +1 = ξ j . И так далее.

В пределе при достаточно большом N распределение полученных значений X (х 1 , х 2 ,… , x n) будет сходиться по вероятности к заданному распределению. Это с очевидностью сле­дует из того, что вследствие равномерного распределения случайных точек в площади единичного квадрата число попаданий в каждую площадку при N → ∞ со будет определяться ее размерами, в свою очередь равными вероятности j -го значения случайной величины.

В данном случае двумерные координаты (х, у) использовались только для уяснения аналогии и общности алгоритма метода Монте-Карло при решении различных задач. Вообще же для решения задачи розыгрыша дискретной случайной величины достаточно иметь одну числовую ось.

Подготовка к розыгрышу при этом заключается в том, что на числовой оси У (рис. 9.2) откладывается интервал от 0 до 1 , (), который разбивается, начиная от нуля, на k интервалов длиной, равной соответственно p 1 , p 2 , . . ., p k . Полученные интервалы нумеруются цифрами j = 1, 2, 3, . .., k.

Сам розыгрыш заключается в следующем. Каким-либо способом, например из таблицы случайных чисел, равномерно распределенных(см.

Рисунок 9.2. Вероятности значений случайной величины на числовой оси

разд. 9.4) в интервале от 0 до 1, последовательно считываются значения a i . (i = 1, 2, ... , N) . Затем на оси У определяется в какой интервал на оси У попадает заданное значение точки, то есть где у j = a i .

Если точка а i попадает в интервал с номером j , то считается, что данное значение х i = ξ j . , и т. д.

Разыгрывание дискретной случайной величины, состоящее из множества испытаний, обычно производится на ЭВМ. При этом значения случайной величины а могут быть получены различными путями (см. разд. 9.4).

Пусть распределение разыгрываемой случайной величины задано в памяти машины в виде табл. 9.1.

Таблица 9.1

Распределение дискретной случайной величины

Значения X	ζ 1	ζ 2	…	ζ i	…	ζ к
Вероятность значений	p 1	p 2	…	p i	…	p k
Обеспеченность	P 1	P 2	…	P i	…	P k

В этой таблице i - порядковый номер значений случайной ве­личины X; - значения случайной величины, расположенные в убывающем порядке; р i - вероятность значений ; - обеспеченность значений .

Разыгрывание производится по следующей схеме (рис. 9.3). Задается номер члена ряда (i =1, 2, ..., п). Затем по таблице случайных чисел находится a i , дальше a j сравнивается со значениями обеспеченности Р j (j = 1, 2, . ..,..., k- 1) и если , то i -му члену моделируемого ряда присваивается значение . Затем проверяется i = n , и если равенство выполняется, т. е. получены все п значений, то розыгрыш прекращается, если нет, то i увеличивается на 1 и весь расчет, начиная со 2-го оператора (см. рис. 9.3), повторяется.

Привести в порядок рисунок

Рис. 9.3. Блок-схема розыгрыша ряда значений дискретной случайной величины.

5.2.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х , т.е. получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1,2,...). При этом функция распределения F(X) известна.

Существует следующая теорема .

Если r i - случайное число, то возможное значение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с известной функцией распределения F(X) соответствующее r i , является корнем уравнения

Алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины:

1. Необходимо выбрать случайное число r i .

2. Приравнять выбранное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение .

3. Решить данное уравнение относительно x i . Полученное значение x i будет соответствовать одновременно и случайному числу r i . и заданному закону распределения F(X).

Пример5.2.

Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х , распределенной равномерно в интервале (2; 10).

Решение

Функция распределения величины Х имеет следующий вид:

По условию, a = 2, b = 10, следовательно,

В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины приравняем F(X) выбранному случайному числу r i .. Получим отсюда:

Подставим эти числа в уравнение (5.3).Получим соответствующие возможные значения х :

Пример 5.3

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с известной функцией

(x>0, параметр > 0 известен)

Требуется найти формулу для разыгрывания возможных значений Х .

Решение

В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины получим уравнение

Решим это уравнение относительно x i . Получим:

Случайное число r i находится в интервале (0, 1). Следовательно число (1- r i ) также случайное и принадлежит интервалу (0, 1). То есть случайные величины R и 1 - R распределены одинаково, т.е. равномерно в одном и том же интервале (0, 1). Поэтому для отыскания значения x i можно воспользоваться более простой формулой:

5.2.3. Разыгрывание случайной величины X, распределенной нормально

Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М(R) = 1/2, а дисперсия D(R) = 1/12.

Составим сумму n независимых случайных величин R j (j = 1,2,...n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим .

Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма R i содержит n слагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого равна 1/2. Следовательно математическое ожидание суммы равно:

;

Аналогично для дисперсии суммы R j получим:

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы R j :

Теперь пронормируем сумму R j .

Для этого вычтем из суммы R j математическое ожидание этой суммы и разделим на среднее квадратическое отклонение суммы R j . Получим

(то есть )

На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному закону с параметрами a = 0 и = 1.

При конечном n распределение можно рассматривать как приближенно нормальное. Например, при n = 12 получим достаточно точное для практики приближение

Таким образом, получаем, что для того чтобы разыграть возможное значение x i нормальной случайной величины Х с параметрами a = 0 и = 1, нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6.

Пример 5.4.

1. Разыграть 100 возможных значений случайной величины Х распределенной нормально с параметрами a = 0 и = 1.

2. Оценить параметры разыгранной случайной величины Х .

Решение

1. Выберем 12 случайных чисел распределенных равномерно в интервале (0, 1) из таблицы случайных чисел, либо из компьютера. Сложим эти числа и из суммы вычтем 6, в итоге получим:

Поступая аналогичным образом найдем остальные возможные значения .

2. Выполнив необходимые расчеты найдем выборочную среднюю, которая является оценкой и выборочное среднее квадратическое отклонение, которое является оценкой . Получим:

Как видим, оценки удовлетворительны, т.е. близко к нулю, а близко к единице.

Если требуется разыграть значения нормальной ненормированной случайной величины с математическим ожиданием отличным от нуля и отличным от единицы, то сначала разыгрывают возможные значения x i нормированной случайной величины, а затем находят искомое значение по формуле

которая получена из соотношения:

Таблица 5.1

Формулы для моделирования случайных величин